La conjunción de las proposiciones p, q es la operación binaria que tiene por resultado p y q, se representa por p^q, y su tabla de verdad es:
p q p^q
V V V
V F F
F V F
F F F
La conjunción nos sirve para indicar que se cumplen con dos condiciones simultáneamente, así por ejemplo si tenemos:
La función es creciente y está definida para los números positivos, utilizamos
p ^ q, donde
p: la función es crecienteq: la función esta definida para los números positivos Así también: p ^ q, donde
p: el número es divisible por 3q: el número está representado en base 2
se lee: El número es divisible entre 3 y está representado en base 2.
Nota: Observamos que para la conjunción p ^ q sea verdadera las dos expresiones que intervienen deben ser verdaderas y sólo en ese caso como se indica por su tabla de verdad
DISYUNCIÓN
La disyunción de dos proposiciones p, q es la operación binaria que da por resultado p ó q, notación p v q, y tiene la siguiente tabla:
p q p v q
V V V
V F V
F V V
F F F
Con la disyunción a diferencia de la conjunción, se representa dos expresiones y que afirman que una de las dos es verdadera, por lo que basta con que una de ellas sea verdera para que la expresión p ∨ q sea verdadera.
Como por ejemplo la expresión: Los tenis se le entregará a Pepe o los tenis se le entregará a Luis significa que si va uno de los dos, los tenis se le entrega, si van los dos también se entrega y solamente en caso de que no vaya ninguno de los dos no se debe entregar.
En español tenemos tres casos de disyunción:
La llamada y/o, lógica o matemática, que se utliza en computación como el operador OR, este operador corresponde al mencionado anteriormente p v q y ya se mostró su tabla de verdad.
La “o” excluyente, que algunos también le llaman o exclusiva, y que indica que una de las dos proposiciones se cumple, pero no las dos. Este caso corresponde por ejemplo a: Hoy compraré un libro o iré al cine; se sobrentiende que una de las dos debe ser verdadera, pero no la dos. Se representa por p XOR q y su tabla de verdad es:
p q p XOR q
V V F
V F V
F V V
F F F
Por último, también es muy común utilizar una disyunción como la siguiente: El menú incluye café o té. En este caso se esta dando una disyuntiva diferente pues no se pueden las dos simultáneamente como en el caso anterior, pero aquí si es válido el caso donde las dos son falsas.
p q p § q
V V F
V F V
F V V
F F V
Nota: El último símbolo no es estándar y puede haber varias formas de representarlo.
Un buen ejercicio consiste en enunciar varias expresiones del español que utilizando los conectivos y o para analizar cuál de los operadores es.
Tambien se debe de tener mucho cuidado cuando se traduce del lenguaje usual por las costumbres, muchas veces depende del contexto o de la situación específica en la que se usan los conectivos, por ejemplo si decimos: Se pueden estacionar alumnos y maestros, en realidad se está queriendo decir un operador disyuntivo, en este caso la o matemática, o sea el primer operador que corresponde a la primera tabla de esta sección.
IMPLICACION
La implicación de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; si p entonces q, se representa por p → q, y su tabla de verdad está dada por:
V V V
V F F
F V V
F F V
Con respecto a este operador binario, lo primero que hay que destacar es que no es conmutativo, a diferencia de los dos anteriores la conjunción y la disyunción. El único caso que resulta falso es cuando el primero es verdadero y el segundo falso.
Por ejemplo, si p es llueve y q es hay nubes entonces:
p → q es si llueve entonces hay nubes.
También cabe señalar que este viene a ser el operador más importante en el proceso deductivo y que la mayoría de las leyes de inferencia y las propiedades en matemáticas se pueden enunciar utilizando este operador.
DOBLE IMPLICACION
La doble implicacion de dos proposiciones p, q da lugar a la proposición; p si y sólo si q, se representa por p ↔ q su tabla de verdad está dada por:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
Jerarquia de Operadores.
Combinando los operadores anteriores podemos formar nuevas expresiones.
En términos formales la negación de p, deberá ser ( ¬ p), así como la conjunción de p y q sería (p ^ q). Con el uso de paréntesis evitamos la ambiguedad, por ejemplo ¬p ^ q podría significar dos cosas distintas
Por un lado podría significar: (( ¬ p) ^ q) O también: ( ¬ (p ^ q)).
En la práctica para no usar tantos paréntesis se considera que el operador ¬ tiene jerarquia sobre ^, v, →, ↔. Así ¬ p ^ q significa (( ¬ p)^ q).
En algunos casos se considera ^, v tienen mayor jerarquía que ↔ por lo que p ↔ q v r sería (p ↔ (q v r)) y también que ^ tiene prioridad sobre v, por lo que p ^ q v r sería (p ^ q) v r.
Así por ejemplo, en electrónica, para representar circuitos lógicos se utiliza + en lugar de v y · en lugar de ^.
Por lo que p·q+r es ((p ^ q) v r).
En estos apuntes no se considerará jerarquía en ninguno de los operadores binarios ^, v, →, ↔ por lo que utilizaremos paréntesis. Sólo ¬ tiene prioridad sobre los demás operadores. Esto nos ahorrá algunos paréntesis, por ejemplo: ((( ¬ p) ^ q) v r) se representa por ( ¬ p ^ q) v r.
LUDWIG WITTGENSTEIN
Ludwig Josef Johann Wittgenstein (Viena, Austria, 26 de abril de 1889 — Cambridge, Reino Unido, 29 de abril de 1951) fue un filósofo y lingüista austriaco, posteriormente nacionalizado británico. En vida publicó solamente un libro: el Tractatus logico-philosophicus, que influyó en gran medida a los positivistas lógicos del Círculo de Viena, movimiento del que nunca se consideró miembro. Tiempo después, el Tractatus fue severamente criticado por el propio Wittgenstein en Los cuadernos azul y marrón y en sus Investigaciones filosóficas, ambas obras póstumas. Fue discípulo de Bertrand Russell en el Trinity College de Cambridge, donde más tarde también él llegó a ser profesor. Murió cerca de Elizabeth Anscombe, quien se encargó de que recibiera los auxilios de la Iglesia.
En un sentido amplio llamamos “tautología” a toda repetición del mismo pensamiento con distintas palabras, como cuando decimos “lo que no se puede hacer no se puede hacer, y además es imposible”. La filosofía neopositivista considera que los enunciados que desde Hume se han denominado analíticos son meras tautologías: si digo “el triángulo tiene tres ángulos”, “los solteros son las personas no casadas”, el pensamiento que aparece en el predicado (tener tres ángulos, ser persona no casada) ya está pensado en el sujeto (“triángulo” o “soltero”), aunque de un modo implícito. Estos enunciados no son informativos, no dan información que no esté ya pensada en el concepto sujeto, y su verdad es una mera fidelidad a las leyes de la lógica, no me hace falta contrastar el enunciado con el mundo, con la realidad para saber que es verdad.
En un sentido más estricto, y desde que Wittgenstein acuñó el término en el “Tractatus”, se llaman “tautologías” todas las proposiciones compuestas que cuando se comprueba su verdad mediante las tablas de verdad toman el valor “verdadero” para cualquiera de los valores de los enunciados elementales. Para comprender qué se quiere decir con esto fijémonos en los siguientes enunciados, su traducción en la lógica de enunciados, y en sus correspondientes tablas de verdad:
Enunciado 1: “Sócrates escribió mucho y Platón también” = “p Λ q”
Enunciado 2: “llueve y no llueve” = “p Λ ¬ p”
Enunciado 3: “Dios existe o Dios no existe” = “p ν ¬ p”
p q p Λ q p ¬ p p Λ ¬ p p ¬ p p ν ¬ p
V V V V F F V F V
V F F V F F V F V
F V F F V F F V V
F F F F V F F V V
Enunciado 1: p Λ q Enunciado 2: p Λ ¬ p Enunciado 3: p ν ¬ p
TAUTOLOGIA
En lógica se entiende por tautología aquella proposición cuya tabla de verdad da siempre el valor de verdad V en todos los casos posibles de los valores de verdad (V, F) de cada una de las proposiciones que la integran.
En este caso consideremos la proposición cuya tabla de verdad siempre será verdadera. Es una tautología. Como cuando aseguramos como verdadero que “o llueve o no llueve”.
Pero en lógica, lo tautológico se convierte en la esencia del discurso deductivo, o mejor dicho de la inferencia deductiva.
Cuando una proposición tiene la forma de un esquema de inferencia y su tabla de valores de verdad es siempre V, entonces dicha proposición, como producto de unas premisas que implican una conclusión, decimos que tiene una forma de argumento válido.
La validez lógica o la tabla de verdad del esquema de inferencia que enlaza el antecedente y el consecuente da siempre el valor de verdad V, y en todos los casos posibles de los valores de verdad de las proposiciones que la integran. Es una tautología.
Sea el esquema de inferencia cuya tabla de verdad muestra ser una tautología. Un esquema que podría modelilzarse como: “Si llueve el suelo está mojado y si el suelo está mojado entonces las ruedas de los coches patinan. Por lo tanto si llueve las ruedas de los coches patinan”. Un argumento fácil de comprender.
Lo que quiere decir que todos los argumentos deductivos válidos son, por definición, tautologías.
Igual que la lógica, las matemáticas pueden ser consideradas como la ciencia de hacer tautologías particularmente elaboradas de una forma rigurosa. Un teorema es un ejemplo de tautología útil.
Para Ludwig Wittgenstein, la tautológica se trata de una proposición que necesariamente es verdadera (A es igual a A), con independencia de que represente un hecho real o no. De este modo se acepta "a priori" (independientemente de la experiencia) y sirve de premisa obvia.
Este tipo de verdades que no dependen de los hechos han sido consideradas de diversas maneras en la historia de la filosofía: verdad necesaria, verdad analítica, verdad de razón.
FALACIA
Una falacia es un razonamiento no válido o incorrecto pero con apariencia de razonamiento correcto. Es un razonamiento engañoso o erróneo (falaz), pero que pretende ser convincente o persuasivo.Todas las falacias son razonamiento que vulneran alguna regla lógica. Así, por ejemplo, se argumenta de una manera falaz cuando en vez de presentar razones adecuadas en contra de la posición que defiende una persona, se la ataca y desacredita: se va contra la persona sin rebatir lo que dice o afirma.La falacias lógicas se suelen clasificar en formales y no formales.
